Wykładowca Akademii Humanistyczno-Ekonomicznej w Łodzi, nie tylko odkrył i opisał algebrę binarną, ale również szuka dalszych zastosowań dla nowego działu matematyki dyskretnej.
Mgr inż. Paweł Chłosta w AHE wykłada matematykę dyskretną i programowanie oraz prowadzi zajęcia z metod numerycznych dla studentów dziennych, zaocznych, zdalnych i zagranicznych w języku angielskim. Oprócz tego czasem podejmuje się prowadzenia innych przedmiotów, mniej związanych z matematyką. W zeszłym semestrze prowadził na przykład zajęcia dla studentów pedagogiki i nauczania wczesnoszkolnego, gdzie wskazywał, jak niezwykle istotnym czasem w nauce matematyki jest okres przedszkolny i wczesnoszkolny.
Prywatnie ma wiele zainteresowań. Podróżuje po świecie, szczególnie ciekawi go Azja. Gra na pianinie, w tenisa, w ping-ponga, jeździ na rowerze i pływa. Sport jest formą oderwania się od pracy naukowej i spędzania wolnego czasu. Lubi też wieczorami słuchać muzyki. Interesuje się również tematami z zakresu poezji, filozofii, logiki i matematyki.
Co sprawiło, że postanowił pan podjąć pracę nad badaniem matematyki dyskretnej, co doprowadziło do odkrycia nowego działu, algebry binarnej, i z jakimi problemami się to wiązało?
Bezpośrednim powodem, dla którego zacząłem pracować nad tym zagadnieniem, była chęć znalezienia wzorów na funkcje trójkątne, prostokątne i kwadratowe, z którymi się wcześniej nie spotkałem, a wydawało mi się, że muszą być one ważne. I bardzo zdziwiło mnie, że nie udało mi się ich znaleźć wcześniej.
Czym właściwie są matematyka dyskretna i algebra binarna?
Matematyka dyskretna zajmuje się funkcjami nieciągłymi, a mówiąc potocznym językiem – funkcjami punktowymi. Głównym jej celem jest zapis i opracowanie za pomocą wzorów funkcji dyskretnych oraz wszelkiego rodzaju danych pomiarowych i teoretycznych. Matematyka dyskretna to dziedzina matematyki, która obejmuje ważne dziedziny nauki, jak kombinatoryka, statystyka, prawdopodobieństwo czy teoria liczb. Jednak mimo upływu lat do tej pory była stosunkowo mało zbadana, ponieważ cały czas do opisu prawie wszystkich zjawisk w przyrodzie naukowcy używają przede wszystkim funkcji ciągłych. Dopiero w momencie, gdy zebrane dane trzeba zapisać w pamięci komputera, aby potem je zinterpretować, przekształca się je, czyli dyskredytuje w liczby 0 i 1. Ponieważ w informatyce wszystkie dane zapisywane są w postaci cyfrowej, jaką są bity – najmniejsze i niepodzielne porcje informacji, które, jak się kilka lat temu okazało, są podstawą algebry binarnej.
A kiedy wpadł pan na pomysł, by zacząć badać ten dział matematyki i zająć się ogólnie algebrą binarną?
Pierwsza myśl odnośnie do tego tematu pojawiła się u mnie już w wieku 16 lat, gdy na zajęciach w liceum w drugiej klasie zobaczyłem po raz pierwszy tablice prawdy. Czyli takie tabelki, za pomocą których dowodziło się, czy treść zdań logicznych jest fałszem, prawdą, implikacją, alternatywą lub koniunkcją. Wtedy sobie pomyślałem, że fajnie by było, gdyby komukolwiek udało się napisać wzory na te wszystkie prawa rachunku zdań. To była tylko przelotna myśl. Potem, gdy studiowałem na politechnice, nie spotkałem się z takimi wzorami, co mnie nieco zdziwiło. Dopiero w wieku około 28 lub 29 lat, kiedy pracowałem na stanowisku informatyka oraz programisty w szpitalu i pisząc programy komputerowe, zajmowałem się obliczeniami binarnymi, wpadł mi do głowy pomysł, żeby napisać ogólny wzór matematyczny zbudowany tylko z bitów, czyli współczynników znajdujących się w kolejnych potęgach liczby 2. Jednak nie wziąłem się za to, bo nie było to dla mnie w tamtym momencie tak ważne i byłem święcie przekonany, że jest to zagadnienie tak oczywiste i znane naukowcom na całym świecie, że mój wysiłek byłby bezcelowy.
Gdy zaczynałem moją intelektualną przygodę, nie wiedziałem jeszcze, że to będzie algebra binarna, ponieważ wtedy wydawało mi się, że wszystkie te metody i wzory, które potem stopniowo odkrywałem – są już znane, choć może niezbyt rozpowszechnione. Faktycznie zacząłem zajmować się tym tematem mniej więcej w lutym 2018 roku. Z tym że pierwsze dwa miesiące zajmowałem się badaniami na liczbach dziesiętnych. Mniej więcej w kwietniu zauważyłem, że to nie prowadzi do żadnych nowych wzorów, dlatego postanowiłem przejść na matematykę binarną. I nagle oczekiwane przeze mnie wzory zaczęły się w końcu pojawiać. Na początku w mało eleganckiej postaci, której zapis musiałem sam stworzyć. Choć miałem już wzory heurystyczne, to znaczy, utworzone dość przypadkowo, to cały czas zależało mi, aby otrzymać jeden ogólny i uniwersalny wzór, na co wskazał mi prof. dr hab. Piotr Porwik z Uniwersytetu Śląskiego, który był w tym czasie moim mentorem, za co jestem mu niezmiernie wdzięczny.
W tym czasie musiałem więc najpierw opracować własny formalizm matematyczny do zapisu tych funkcji i on funkcjonował przez pierwszych kilka miesięcy. Dopiero rok później zmieniłem ten zapis na zapis typowo matematyczny. Chciałem, żeby ten wzór, nad którym pracowałem, był zrozumiały dla wszystkich matematyków i informatyków.
A czym jest ta algebra binarna?
Algebra binarna jest to algebra, która została stworzona w celu napisania ścisłego, matematycznego wzoru, za pomocą którego można wyrazić wszystkie funkcje dyskretne, zapisane w postaci punktów. Okazało się później, że te wzory nie pozwalają jedynie na zapis funkcji dyskretnych jako liczb, ale również jako dowolnych obiektów. Uściślając, algebra binarna to jest teoria, której głównym celem jest utworzenie wzoru opisującego dowolny ciąg. Nie tylko ciąg liczbowy, ale też taki składający się z dowolnych symboli lub znaków.
Czy funkcje binarne mają jakieś nietypowe właściwości w porównaniu do funkcji ciągłych?
Tak, mają nietypowe właściwości. Zajmuję się tymi funkcjami od kilku lat i myślę, że poznamy jeszcze wiele nowych, zaskakujących właściwości. Jedną z ciekawszych, które w ogóle nie występują w funkcjach ciągłych, jest na przykład to, że te funkcje same z siebie uzupełniają się zerami do potęgi liczby 2. Czyli okazuje się, że jednym wzorem funkcji możemy opisać kilka rodzajów wykresów. To są wyjątkowe przypadki, ale to, że takie w ogóle się zdarzają, jest niesamowite. Występuje też zjawisko polegające na tym, że dwoma różnymi wzorami możemy opisać jedną funkcję. Mówię o wyjątkowej funkcji o wyjątkowym, symetrycznym kształcie. W przypadku funkcji ciągłej każdy wykres ma osobny wzór. Dla funkcji binarnej mogą być przypadki, że za pomocą dwóch różnych wzorów można opisać tę samą funkcję, jeśli ma ona pewną pionową symetrię.
Kolejną ciekawą rzeczą jest to, że podobnie jak w przypadku funkcji ciągłych funkcja binarna jest nieskończona. Im więcej mamy punktów pomiarowych, tym ta funkcja będzie dłuższa. Nie znaczy to, że będzie ona zawsze dążyła do nieskończoności, ponieważ dość często sama redukuje się do bardzo krótkiego wzoru. Te funkcje wychwytują, czyli są bardzo czułe na powtarzalność danych lub występowanie jakichś korelacji, i wtedy ich zapis nieraz gwałtownie maleje.
Funkcje binarne mają jeszcze taką fajną cechę, że wszystkie składowe posiadają wartości początkowe. One się powtarzają cały czas. Jest to potwierdzeniem, że ta funkcja może opisać wszystkie dowolne zjawiska w przyrodzie. To też jest jej niesamowitą cechą.
W jakich dziedzinach nauki udało się już znaleźć zastosowanie dla algebry binarnej?
Udało się znaleźć zastosowanie w logice klasycznej. W maju tego roku byłem na XXVII Konferencji Logików w Szklarskiej Porębie, na której prezentowałem te zastosowania. Czyli prawa rachunku zdań po raz pierwszy mogą być dowodzone w sposób ściśle matematyczny, a nie za pomocą innych technik – w postaci tabel, odwzorowań oraz różnego rodzaju schematów. Wreszcie możemy przeprowadzać dowody z teorii rachunku zdań za pomocą ścisłych, prostych wzorów, które nam od razu powiedzą, czy dane zdanie jest prawdziwe, to znaczy, jest tautologią, czy fałszywe – kontrtautologią, czy też innym zdaniem.
Drugie zastosowanie jest w elektronice. Na przykład można zapisać wzór Graya, który używany jest do optymalnego kodowania bitów w tak zwanych enkoderach.
Możemy również zapisywać wszystkie funkcje dyskretne w teorii sygnałów, czyli spadki napięcia kondensatorów, zmiany oporności i to właśnie tam występują te funkcje dyskretne, którymi się na początku zajmowałem. Funkcje trapezowe, prostokątne, binarne, schodkowe w elektronice występują bardzo często. Wzory również mają zastosowanie w grafach, a także w sortowaniu. Wydawało się, że jest niemożliwe znalezienie wzoru, że coś takiego nie istnieje, a jednak okazało się, że już są pierwsze pozytywne efekty rachunkowych obliczeń.
Od ponad osiemdziesięciu kilku lat w matematyce istnieje znany problem „3x + 1”, zwany hipotezą Collatza, o którym mówiono, że nie warto, by matematycy w ogóle się za niego zabierali, ale tutaj również już są pierwsze postępy. Jest to jeden z najtrudniejszych problemów, który teraz ma szansę zostać choć w części rozwiązany.
Jakie obecnie są cele w szukaniu dalszych teoretycznych i praktycznych zastosowań tej dziedziny?
W tej chwili zajmuję się fraktalami binarnymi, które być może będą miały wpływ na mechanikę, obliczenia statyczne. Mam pierwsze obliczenia w fizyce nieklasycznej. To są dopiero pierwsze próby, więc trudno jeszcze określić, jak to się dalej rozwinie.
Czy logika binarna może mieć zastosowanie w filozofii?
Przez ostatnie sto lat wielkim pytaniem w logice klasycznej było: czym jest zdanie? Najwięksi filozofowie i logicy nie mogli się z tym uporać. Jednym z rozwiązań tego tematu jest właśnie logika binarna, bo elementem algebry binarnej jest też logika. To ona właśnie pozwala zdefiniować, czym jest to zdanie podstawowe, atomowe. Okazuje się, że bit jest odzwierciedleniem zdania podstawowego.
Prawdopodobnie też filozoficzne podejście ulegnie zmianie po zapoznaniu się przez naukowców z logiką binarną, ponieważ pozwala ona tworzyć nowego typu wzory, które przypuszczalnie pozwolą spojrzeć inaczej na przewidywanie przyszłości. Tak naprawdę to możemy sobie tę przyszłość obliczyć, oczywiście, w określonych warunkach. Jeśli wyjdzie nam jeden, to znaczy, że wypowiedziane zdanie się sprawdzi, a jeśli zero, to nigdy się nie sprawdzi, natomiast wynik inny będzie oznaczał, że wypowiedź jest niejednoznaczna.
Osobiście widzę dużą przyszłość dla filozofii dowodzenia. Wzory, które powstały w logice binarnej, pozwalają rzucić nowe światło na podstawowe definicje używane w klasycznej i nieklasycznej logice.
Jest pan również autorem dwóch książek naukowych. Proszę o nich opowiedzieć.
W styczniu 2022 roku wydałem książkę pod tytułem Fundamentals of Binary Algebra. Napisałem ją w języku angielskim i była to pierwsza na świecie książka o algebrze binarnej. Zawierała wszystkie wzory, całą teorię związaną z tworzeniem tej algebry i z przykładami zastosowań. Jest tam pokazany pierwszy na świecie trójkąt fraktalny. Obecnie zespół moich studentów na uczelni AHE zakończył z pozytywnym wynikiem szczegółowe badania fraktala binarnego funkcji kwadratowej, w ramach programu projektu ogólnouczelnianego.
W lutym 2024 roku wydałem niewielką pozycję pod tytułem Logika binarna, która zawiera dowody trzydziestu praw rachunków zdań przeprowadzonych metodą algebraiczną. To jest bardzo ważna pozycja, która otworzyła mi drogę do wystąpienia na konferencji naukowej w Szklarskiej Porębie.
Wspominał pan o konferencji. Czy mógłby pan opowiedzieć o niej coś więcej? Jaki był temat spotkania i w jakiej roli pan tam wystąpił?
Głównym tematem tej konferencji było matematyczne podejście do logiki klasycznej i nieklasycznej. Moje wystąpienie dotyczyło prezentacji ścisłych wzorów binarnych w celu pokazania dowodzenia praw rachunku zdań.
Wywiad przeprowadziła Patrycja Pąśko,
studentka dziennikarstwa i komunikacji społecznej, II rok.